matematika: Komposisi Fungsi

6.3. Komposisi Fungsi

6.3.1. Pengertian

Komposisi fungsi adalah penggabungan operasi dua fungsi secara berurutan sehingga menghasilkan sebuah fungsi baru.

Misalkan: f : A ® B dan g : B ® C

h = g o f

Fungsi baru h = (g o f) : A ® C disebut fungsi komposisi dari f dan g.

Ditulis: h(x) = (gof)(x) = g(f(x))

(gof)(x) = g(f(x)) ada hanya jika R_f ∩ D_g ≠ Ø

Nilai fungsi komposisi (gof)(x) untuk x = a adalah (gof)(a) = g(f(a))

Contoh 22:

Diketahui fungsi f dan g dinyatakan dalam pasangan terurut

f = {(0,1), (2,4), (3,-1),(4,5)} dan g = {(2,0), (1,2), (5,3), (6,7)}

Tentukanlah: a) (f o g) b) (g o f) c) (f o g)(1) d) (g o f)(4)

a) (f o g) = {(2,1), (1,4), (5,-1)} b) (g o f) = {(0,1), (4,3)}

c) (f o g)(1) = 4 d) (g o f)(4)

Contoh 23:

f : R ® R ; f(x) = 2x² +1, g : R ® R ; g(x) = x + 3
(f o g)(x) = f(g(x)) = f(x+3) = 2(x+3)²+1 = 2(x² + 6x + 9) + 1 = 2x²+12x+19

(g o f)(x) = g(f(x)) = g(2x²+1) = 2x² + 1 + 3 = 2x² + 4

(f o g)(1) = f(g(1)) = f(4) = 2. (4)² +1 = 2.16 + 1 = 33

(g o f)(1) = g(f(1)) = g(3) = 3 + 3 = 6

Contoh 24:

Diketahui A = {x l x < -1}, B dan C adalah himpunan bilangan real.

f : A → B dengan f(x) = -x + 1; g : B → C dengan g(x) = x² dan h = g o f : A → C.

Bila x di A dipetakan ke 64 di C, tentukan nilai x!

h(x) = (g o f)(x) = g(f(x)) = g(-x + 1) = (-x + 1)²

h(x) = 64 → (-x + 1)²= 64 ↔ -x + 1 = ± 8

-x + 1 = 8 ↔ x = -7 atau –x + 1 = -8 ↔ x = 9

Karena A = {x l x < -1}, maka nilai x yang memenuhi adalah x = -7.

6.3.2. Sifat-sifat Komposisi Fungsi

Jika f : A ® B ; g : B ® C ; h : C ® D, maka berlaku:

i. (fog)(x) ≠ (g o f)(x) (tidak komutatif)
ii. ((fog)oh)(x) = (fo(goh))(x) (sifat asosiatif)

iii. (foI)(x) = (Iof)(x) = f(x) (elemen identitas)

Contoh 25:

Diketahui f(x) = 2x + 1, g(x) = 3 – x, dan h(x) = x² + 2, I(x) = x

(f o g)(x) = f(g(x)) = f(3-x) = 2(3-x) + 1 = 6 – 2x + 1 = 7 – 2x

(g o f)(x) = g(f(x)) = g(2x+1) = 3 – (2x+1) = 3 – 2x – 1 = 2 – 2x

(g o h)(x) = g(h(x)) = g(x² + 2) = 3 – (x² + 2) = 1 - x²

Dari hasil di atas tampak bahwa (fog)(x) ≠ (g o f)(x)

((fog)oh)(x) = (fog)(h(x))= (fog)( x² + 2)= 7 – 2(x² + 2) = 3 - 2x²

(fo(goh))(x)=f((goh)(x))= f(1 - x²)= 2(1 - x²) + 1 = 2 – 2 x² + 1 = 3 – 2 x²

Dari hasil di atas tampak bahwa ((fog)oh)(x) = (fo(goh))(x)

(foI)(x) = f(I(x)) = f(x) = 2x + 1

(Iof)(x) = I(f(x)) = I(2x+1) = 2x + 1

Dari hasil di atas tampak bahwa (foI)(x) = (Iof)(x) = f(x)

6.4. Fungsi Invers

v Definisi

Jika fungsi f : A ® B dinyatakan dengan pasangan terurut f:{(a,b)laÎA dan bÎB}, maka invers dari fungsi f adalah f^-1: B ® A ditentukan oleh: f^-1:{(b,a)lbÎB dan aÎA}.

Jika f : A ® B, maka f mempunyai fungsi invers f^-1 : B ® A jika dan hanya jika f adalah fungsi bijektif atau korespondensi 1-1.

Jika f : y = f(x) ® f ^-1: x = f(y)

(f o f ^-1)(x) = (f^-1 o f)(x) = I(x) (fungsi identitas)

v Rumus Cepat Menentukan Fungsi Invers

i. f(x) = ax + b; a ≠ 0 ® f ^-1(x) =

; a ≠ 0

ii. f(x) =

; x ≠ -

® f ^-1(x) =

; x ≠

iii. f(x) = a^cx ; a > 0 ® f ^-1(x) =^alog x^1/c =

^alog x ; c ≠ 0

iv. f(x) = ^a log cx ; a > 0; cx > 0 ® f ^-1(x) =

; c ≠ 0

v. f(x) = ax²+bx+c; a≠0 ® f ^-1(x)=

Catatan:

Fungsi kuadrat secara umum tidak mempunyai invers, tetapi dapat mempunyai invers jika domainnya dibatasi.

Contoh 26:

Diketahui f: R ® R dengan f(x) = 2x - 5. Tentukan f ^-1 (x)!
Cara 1:

y = 2x - 5 (yang berarti x = f ^-1(y))
2x = y + 5

x =

f ^-1(x) =

Cara 2:

f(x) = ax + b ® f ^-1(x) =

f(x) = 2x – 5 ® f ^-1(x) =

Contoh 27:

Diketahui

Tentukan

Cara 1:

y(x - 4) = 2x + 1

yx – 4y = 2x + 1

yx – 2x = 4y + 1

x(y – 2) = 4y + 1

x =

f ^-1(x) =

Cara 2:

f(x) =

® f ^-1(x) =

Contoh 28:

Jika

dan

. Tentukan nilai k!

Cara 1:

y(3x - 4) = 2x

3xy – 4y = 2x

3xy – 2x = 4y

x(3y – 2) = 4y

x =

f ^-1(x) =

f ^-1(k) =

1 =

3k – 2 = 4k

k = -2

Cara 2:

f ^-1(k) = a ® k = f(a)

® k = f(1) =

Contoh 29:

Diketahui f(x) = 5^2x, tentukan f ^{– 1}(x)!

Cara 1:

y = 5^2x (ingat rumus logaritma: aⁿ = b ® n =

)

2x =

x =

f ^{– 1}(x) =

Cara 2:

f(x) = a^cx ® f ^-1(x) =

^alog x

f(x) = 5^2x® f ^{– 1}(x) =

Contoh 30:

Diketahui f(x) = x² – 6x + 4, tentukan f^–1(x)!

Cara 1:

y = x² – 6x + 4

y – 4 = x² – 6x

y – 4 = (x – 3)² – 9

y + 5 = (x – 3)²

x – 3 = ±

x = 3 ±

f ^{– 1}(x) = 3 ±

Cara 2:

f(x) = ax²+bx+c ® f ^-1(x) =

f(x) = x² – 6x + 4 ® f ^-1(x) =

Contoh 31:

Diketahui

, tentukan f ^{– 1}(x)!

Cara 1:

y – 2 =

(y – 2)⁵ = 1 – x³

x³ = 1 - (y – 2)⁵

x =

f ^{– 1}(x) =

Cara 2:

® f ^{– 1}(x) =

v Menentukan Fungsi Jika Fungsi Komposisi dan Sebuah Fungsi Lain Diketahui

Misalkan fungsi komposisi (f o g)(x) atau (g o f)(x) diketahui dan sebuah fungsi f(x) juga diketahui, maka kita bisa menentukan fungsi g(x). Demikian pula jika fungsi komposisi (f o g)(x) atau (g o f)(x) diketahui dan sebuah fungsi g(x) juga diketahui, maka kita bisa menentukan fungsi f(x).

Contoh 32:

Diketahui g(x) = 3 – 2x dan (g o f)(x) = 2x² + 2x – 12, tentukan rumus fungsi f(x)!

Cara 1:

(g o f)(x) = 2x² + 2x – 12

g(f(x)) = 2x² + 2x – 12

3 – 2f(x) = 2x² + 2x – 12

-2f(x) = 2x² + 2x – 15

f(x) = -x² – x + 7,5

Cara 2:

g(x) = 3 – 2x ® g ^-1(x) =

f(x) = [g ^-1 o (g o f)](x)

f(x) =

Contoh 33:

Diketahui f(x) = 2x -1 dan (g o f)(x) =

, tentukan rumus fungsi g(x)!

Cara 1:

(g o f)(x) =

g(f(x)) =

g(2x-1) =

Misalkan: 2x – 1 = a ® x =

g(a) =

g(x) =

Cara 2:

(g o f)(x) =

g(f(x)) =

g(2x-1) =

g(x) =

Cara 3:

f(x) = 2x -1 ® f ^-1(x) =

g(x) = [(g o f) o f ^-1](x) = (g o f)( f ^-1(x))

g(x) =

6.5. Invers Dari Fungsi Komposisi

Misalkan fungsi f dan fungsi g nasing-masing merupakan fungsi bijektif sehingga mempunyai fungsi invers f ^-1 dan g^-1. Fungsi komposisi (g o f) , pemetaan pertama ditentukan oleh f dan pemetaan kedua ditentukan oleh g. Mula-mula x oleh fungsi f dipetakan ke y, kemudian y oleh fungsi g dipetakan ke z, seperti tampak pada diagram berikut.

f g

A B C

g o f

Fungsi (g o f)^-1 memetakan z ke x. Mula-mula z dipetakan ke y oleh fungsi g^-1, kemudian y dipetakan x oleh fungsi f ^-1. Sehingga (g o f)^-1dapat dinyatakan sebagai komposisi dari (f^-1 0 g^-1). Seperti tampak pada diagram berikut.